Photoshop色彩平衡（摘自知乎-章佳杰）

Photoshop 中有色彩平衡（Color Balance，在中文语境下容易与白平衡 White Balance 相混淆，这里仅指 Photoshop 的 Color Balance 调整图层）功能，可以对图片的颜色倾向进行调整。
而作为图像算法工程师，自然对其背后的原理和实现比较感兴趣。这篇文章就来说说 Photoshop 中的色彩平衡功能背后的原理，文末附有代码实现。
Photoshop 中的色彩平衡功能面板如下：

最上面是影调（Tone），用来限定调整的是图像的哪部分影调下的色彩，有高光（Highlights）、中间调（Midtones）和阴影（Shadows）。

中间是三个调节颜色的滑杆，详细原理会涉及到 RGB 色彩系统的基本运算，这里不再展开。

最下面是一个保持明度（Preserve Luminosity）的选框，选中了表示采用的新版算法（其实也不新了，Photoshop CS6 时代就已经有了），在颜色调整的同时尽量保持明度不变（当然，看了后面的原理分析就知道，实际上并没有严格保持明度不变，只是切换新老算法的一个开关而已）；而老算法现在使用得很少了，这里不展开分析。

1. 基本设定

1.1 sRGB vs. 线性 RGB

首先一个问题，Photoshop 中，进行色彩平衡处理的时候，是在图像 RGB 空间（通常是 sRGB）处理，还是在线性 RGB 空间处理？

这个问题是重要的，如果没搞对，会导致结果的颜色变的奇怪。即使在一些成熟的商业方案上仍然有这种低级错误（参见 YouTube 上一个比较精彩的科普 Computer Color is Broken 需要科学上网，有一个中译版可以看这里：计算机的颜色不是连续的 – Computer Color is Broken – 译学馆 – 知识无疆界，但我个人觉得翻译得不太好）

为确定这个问题，这里我做了一个简单的实验。在色彩平衡面板中随便调整一些参数（比如把中间调红色 +30），把处理前后的图中每个像素的值进行比对，画在图上：图中横坐标是原始的像素值，纵坐标是处理前后像素值的变化量。这里的像素值的含义，是 sRGB 空间下的像素值。

处理前后像素值的变化，横坐标是原始像素值，纵坐标是像素值变化量
图中画出了红色和蓝色两个通道，绿色通道和蓝色通道表现一样，在同一张图上就不画出来了。这里可以很明显的看到由于量化（Quantization）造成的台阶。这预示着 Photoshop 中色彩平衡功能在计算的时候是在 sRGB 空间中进行的，否则图中出现的应当是弯曲的台阶，而不是现在这样平直的台阶。

看得出来这是严谨性和性能之间的一个权衡，从原理来说，在线性 RGB 空间中做计算更合理，也更容易设计真正的保持明度的算法，但从 sRGB 转到 线性 RGB 需要一定的计算量，而实际中是不是严格保持明度这一点并不是那么重要，通常摄影师会单独用其他的调整图层进行明度的调整。

1.2 参数规约化

我们知道，等量的 RGB 三色混合，得到的是不同明度的灰色。如果将三个调整滑杆都拖动相同的数值，那么理论上将不会对原图做任何变化（加减灰色，颜色上当然不应当有变化，而明度上我们需要保持明度，所以也不应该有变化）。举个例子，三个滑杆值 (+20, +35, +15) 的效果等价于 (+5, +20, 0) 的效果，也等价于 (0, +15, -5) 的效果。

这一点可以在 Photoshop 里得到验证。

这个特性虽然很好理解，但是给算法的实现上带来了麻烦：有许多组看起来不同的参数，得到的效果要保持一致。要得到这个效果，一般从两个方向来考虑，要么设计一个很复杂的周期函数，自动把这种参数的等量变化内化到函数周期中去；要么只考虑某种特殊情况的参数，其他情况都通过参数等量变化来规约到这种特殊情况下来。这里我选择第二种思路，我把这个思路称为参数的规约化，有点类似于函数的主值区间的意思。

那么怎么规约参数呢？一个很直观的思路就是，在等量变化的前提下，选用绝对值之和最小的那组参数。因为绝对值之和最小意味着对原图的改变也最小。这个目标用公式来表达就是
$\underset{d}{min}|R+d|+|G+d|+|B+d|$

其中，R, G, B 分别是三个调整参数，d 就是待定的等量变化量。经过简单分类讨论可以知道，对 R, G, B 三者进行排序，令 d 等于排序第二的那个量的相反数，则整个目标函数能取得最小值。

用前面举过的例子来说，三个参数为 (+20, +35, +15)，排序之后第二的是 +20，于是令 d = -20，得到规约之后的正则参数为 (0, +15, -5)

本文之后的讨论，未单独说明的，都指规约化之后的参数。

2. 中间色调（Midtones）处理算法

经过一些简单的实验，我总结出这样几个结论：

单独改动任何一个参数，都会引起本通道朝向一个方向变化，同时另外两个通道朝向另一个方向变化。举例来说，对 R 参数 +20，则 R 通道像素值会变大，而 G, B 通道像素值会（等量地）变小——两边的变化方向完全相反；
改动不同的参数，效果是单独改动的结果的叠加。
那么，关键的问题就是，参数的值是怎么影响像素值的，换句话说，是个什么函数形式。

中间色调红色+70之后，原始像素值和处理后像素值的变化情况。横坐标是原始像素值，纵坐标是处理后像素值。图中画出的是红色和蓝色通道的情况。
从处理前后像素值变化的图上可以猜测，这个函数可能是个指数函数：$y=x^{\alpha }$，其中 alpha 是个随滑块值变化的参数。尝试不同的滑块参数，对函数进行拟合，发现指数函数对不同参数下的变化都能有很好的拟合，因此我可以大胆猜测，中间色调的处理算法就是指数函数。

接下来的问题就是，指数 alpha 是如何随着滑块参数变化的。

很显然，alpha 处于指数位置，那么 alpha 随着滑块参数 v 的变化，应当满足：$\alpha (v)\cdot \alpha (-v)=1$，也就是在对数坐标下，alpha~v 函数图像是关于原点对称的。经过实验，拟合了不同滑块参数 v 对应的不同 alpha 值，画在对数坐标下，近似为一条过原点的直线，拟合直线方程为 log(alpha) = -0.0033944 v

中间色调参数 alpha 随着滑块参数 v 的变化情况
所以中间调的处理算法可以总结为
$y=x^{\alpha },\text{where }\alpha =\exp (-0.0033944v)$

3. 高光（Highlights）和阴影（Shadows）处理算法

高光和阴影的调整算法，与中间调调整算法不一样，从调整前后的像素值变化曲线上就能看出来

高光红色+50，处理后像素与原始像素的对比情况。图中画出了红色和蓝色通道。

阴影红色+50，处理后像素值与原始像素的对比情况。图中画出了红色和蓝色通道。
高光阴影的处理过程有几个特点：
– 对于正向的调整，比如同样只调整红色 +50，高光的处理算法是只增加红色通道的值，其他两个通道不变；而阴影的处理算法是不变红色通道值，把其他两个通道值减少；
– 对于负向的调整，比如同样只调整红色 -50，高光的处理算法是不变红色通道值，其他两个通道值增加；而阴影的处理算法是只减少红色通道值，其他两个通道值不变；
– 相同的一点是，两边的算法看起来都是一个线性调整。

既然是线性调整，对高光算法而言，一定过原点，所以函数形式为
$y=\frac{x}{1-c}$
其中 c 是「横截距」，就是右端点移动的多少，很显然，调整强度越大，右端点移动越多，c 也越大；
而对于阴影调整算法，类似的可以写成
$y=\frac{x-c}{1-c}$

这里 c 的含义类似，只是用来衡量左端点移动的距离，调整的强度越大，左端点移动越多，c 也越大。

剩下的问题就是，这个 c 值与滑块参数之间有什么关系。经过实验，发现 c 值和滑块值之间也是一个线性关系

高光阴影参数 c 随滑块参数 v 的变化情况
所以，高光和阴影的算法可以总结如下：

高光部分：$y=min\{\frac{x}{1-c},1\},\text{where }c=0.003923v$
阴影部分：$y=max\{\frac{x-c}{1-c},0\},\text{where }c=0.003923v$

4. 代码（matlab 版本）

代码中有一些变量名和文章中不一样（比如 alpha / gamma 什么的）…懒得改了，就这样吧

clear; close all; clc;

% Coefficients may be not normalized
shadows_coef = [0, -20, 30];
midtones_coef = [-20, 20, 0];
highlights_coef = [15, 0, -20];

% Normalize these coefficients
tmp = sort(shadows_coef);
shadows_coef = shadows_coef - tmp(2);
tmp = sort(midtones_coef);
midtones_coef = midtones_coef - tmp(2);
tmp = sort(highlights_coef);
highlights_coef = highlights_coef - tmp(2);

% Read an image
img1 = im2double(imread('lut0.png'));
img2 = img1;

% Do highlights
highlights_alpha = 0.0039230 * highlights_coef;
highlights_alpha = diag(highlights_alpha .* (highlights_alpha > 0)) * ...
    [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1] + ...
    diag(-highlights_alpha .* (highlights_alpha < 0)) * ...
    [0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0];
highlights_alpha = sum(highlights_alpha);
img2 = bsxfun(@(a, b)a ./ (1 - b), ...
    img2, reshape(highlights_alpha, [1, 1, 3]));
img2 = min(max(img2, 0), 1);    % Clamp to 0 and 1

% Do shadows
shadows_alpha = 0.0039230 * shadows_coef;
shadows_alpha = diag(-shadows_alpha .* (shadows_alpha < 0)) * ...
    [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1] + ...
    diag(shadows_alpha .* (shadows_alpha > 0)) * ...
    [0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0];
shadows_alpha = sum(shadows_alpha);
img2 = bsxfun(@(a, b)(a - b) ./ (1 - b), ...
    img2, reshape(shadows_alpha, [1, 1, 3]));
img2 = min(max(img2, 0), 1);    % Clamp to 0 and 1

% Do midtones
midtones_gamma = exp(sum(diag(-0.0033944 * midtones_coef) * ...
    [1, -1, -1; -1, 1, -1; -1, -1, 1]));
img2 = bsxfun(@power, img2, ...
    reshape(midtones_gamma, [1, 1, 3]));
img2 = min(max(img2, 0), 1);    % Clamp to 0 and 1

figure(1); clf;
imshow(img2);

现在，你也可以用 matlab 完美实现色彩平衡功能了~